2026长沙中考·几何压轴专题【03】| 圆与切线·线段计算(上)

📌 导语

本期是《中考数学压轴题解题门道》系列第3期。本题是长沙中考几何压轴题的经典考法，融合了圆、切线、相似三角形、勾股定理、射影定理等多个核心知识点。三问层层递进：

• 第(1)问：证切线
• 第(2)问：求线段长
• 第(3)问：建立函数关系

本篇为 上篇（基础篇），重点讲解第(1)问和第(2)问的多种解法（面积法、三角函数法、相似法），帮助考生建立几何计算的思维框架。

💡 本篇包含两个拓展彩蛋：

• 彩蛋一：第(1)问的证明过程，本质上是弦切角定理逆定理的推导。
• 彩蛋二：第(2)问的A字模型相似，进一步可得到切割线定理。

🎯 三问概览

对解题有疑问或想要完整解析的同学，欢迎在评论区留言交流。

2026长沙中考·几何压轴专题【03】

--- 圆与切线、相似三角形、射影定理

考点：切线判定 + 勾股定理 + 相似三角形 + 射影定理 + 中位线

本题：练习圆的切线证明、直角三角形边角计算、动态比例关系转化

题目

1. 如图1， 是 圆的直径，点在圆上，点是直径延长线上一点，且满足，作于点。

(1) 求证： 是  的切线；

(2) 若 ，求  的长；

(3) 如图2，延长 交 圆于点，延长交圆于点，连接与交于点，若，，求与 之间的函数关系式。

                                              图1

                                                 图2

第(1)问证明

已知： 是  的直径，点  在  上，点  是  延长线上一点，且满足 ， 于点 。 求证： 是  的切线。

思路点拨（常规导角法）

核心目标：证明  是圆  的切线，即证明 。

1. 连接半径：连接 ，构建等腰三角形 。
2. 角度拆分：利用直径所对的圆周角 ，将直角拆分为 。
3. 等量代换：

• 利用等腰三角形性质得 。
• 利用已知条件 。
• 由此可得 。

1. 得出结论：将  替换为 ，直接证得 。

第(1)问完整证明过程

                                  图3（以下为解题过程配图）

证明：如图3 ，连接 。

• （半径相等），（等边对等角）。
•  是直径，（直径所对的圆周角是直角），即 。
• 已知 ，（等量代换）。
• ，即 。
• ，故  是  的切线。

💡 拓展彩蛋1：弦切角定理（选学）

• 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
• 逆定理：若圆上一点  处有直线  满足 ，则  是圆的切线。

本题第(1)问的条件  恰好是逆定理的条件，我们的证明过程，本质上就是逆定理的证明过程。也就是说，这一问不是让你“套用定理”，而是让你亲手证明这个定理。理解了这一点，圆中切线的判定题就通了一半。

第(2)问解答

(2) 若 ，求  的长；

📐 第(2)问解题路线图

以下为第(2)问的多种解法路径，可根据自身基础选择性阅读。 

第一步：求半径→ 由勾股定理得 AB = 10，半径 r = 5

第二步：求高 CD（3种方法）

• 方法一：射影定理（，先求 AD，再勾股求 CD）
• 方法二：面积法（，直接口算）⭐ 推荐
• 方法三：三角函数（） ⭐ 推荐

第三步：求 OD

• 若已用射影定理求出 AD，则直接 
• 若用面积法或三角函数求 CD，未得 AD，则需通过勾股定理或三角函数求 OD

第四步：求 

（3种方法）

• 方法一：勾股 + 相似（，先求 OP，再勾股）
• 方法二：字模型（，设未知数列方程）⭐在题目没有垂直的条件下的重要通用解法，推荐掌握
• 方法三：三角函数 ⭐ 推荐
• 用正切
• 用正弦

第 2 问完整解答过程

第一步: 求半径

如图4 ，∵ 是 圆的直径，在 Rt中，，。半径。

                                             图4

第二步: 求  的长 ( 3种方法 )

• 求CD 方法一: 常规思路（通法）

【思路】 有垂直，用射影定理或勾股定理，是基础稳妥的办法。

【过程】

                                           图5

如图5，

1. 第一步已经求得直径：

2. 用射影定理求投影：

3. 最后用勾股定理：

【点评】 方法正，开方和平方计算步骤多，易出错。

• 求CD 方法二: 等面积法（⭐️秒杀）

【思路】 只要看到直角三角形斜边上的高，第一反应应该是“面积桥”！

【过程】

                                            图6

如图6，

1. 利用  面积相等原理：

2. 代入数据：

3. 直接口算：

【点评】 避开了繁琐的平方和开方，一步到位，强烈推荐！

• 求CD 方法三： 三角函数法（本质⭐️）

【思路】 角度不变，比值就不变。利用  建立联系。

【过程】

                                      图7

如图7,

1. 在  中： ①

2. 在  中： ②

3. 联立得 ①②：

【点评】回归三角函数的定义，省去构造相似或射影定理的中间步骤，一步建立等量关系。三角函数法是直角三角形中求解未知量最简洁的方法，比等面积法（只适用于求高）适用范围更广，强烈推荐！

第三步: 求  的长

。

若已经求得  等于 ，则 

第四步: 求  的长 ( 3种方法 )

• 求  方法一：勾股定理 + 相似（常规思路）

                                         图8

解：如图8，

1. 由(1)知  是切线，，。

2. 由第(2)问已得 ，。

3. 由 得  ( 射影定理 )，即 ，解得 。

4. 在  中，由勾股定理：。

【点评】 思路自然，但步骤多，计算繁琐，需要熟练运用平方差公式化简。

• 求  方法二：相似三角形（A字模型 或叫母子模型，设未知数）

                                        图9

解：如图9，

1. 由  得 。

2. 设 ，则 ，。

3. 由 ，得 ，解得 。

4. 。

【点评】未使用垂直条件，适用于更一般的情况。但涉及分数运算和解方程，计算稍显繁琐。

💡 拓展彩蛋：切割线定理

上述证明过程，实际上就是切割线定理的推导：

1. 弦切角定理：（第(1)问已证）
2. 公共角：
3. 相似：（A字模型）
4. 切割线定理：

该定理与第(1)问的弦切角定理一脉相承：弦切角定理 → 三角形相似 → 切割线定理。掌握这个逻辑链，圆中比例问题就有了统一的思考方向。

• 求  方法三：三角函数法（最优解法 ⭐）

  可以用角  的正切值相等列方程：

                                            图10

如图10, 看角 

在  中，  ①

在  中，  ②

由 

联立①②得：

。

也可以用 角  的正弦值相等列方程

                                          图11

如图11，看角 

在  中， ①

在  中， ②

由 ，

联立①②得：

。

【点评】 利用三角函数的定义，同角的三角函数值相等，本质也是相似。根据已知数据，选择正切、正弦或余弦求解，是直角三角形中最简洁、最直接的解法，强烈推荐。

📌 本篇小结

第(1)问的核心是“证垂直”，关键是连接半径 ，利用等边对等角和直径所对的圆周角是直角完成等量代换。

第(2)问的核心是“算线段”，关键是灵活选择计算方法：

• 求高 ：面积法最快，三角函数法最本质
• 求 ：三角函数法最简，A字模型最通用

几何计算路径不唯一，关键是找到最顺手的工具。下篇我们继续攻克第(3)问的函数关系。

📌 下篇预告

第(3)问将进入本题的“深水区”——从比值  出发，通过相似三角形和中位线，推导出  与  的函数关系式。这是几何压轴题的经典考法，需要熟练运用比例转化和代数运算。

敬请关注下篇（进阶篇）：圆与切线 · 函数关系。