历年中考数学压轴题解析与点评——长沙2019(小压轴)(十一)
- 2026-06-21 09:20:26
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编者按：
本系列预计每周发布1期中考数学压轴题的解析与点评。内容以服务长沙地区的考生为主，其他地区也可参考。题目选择按真题优先、长沙和其他教育发达省份题目优先、时间靠近优先的原则选取。
每题具体展开内容包括详细解析、思路分析和试题点评三个模块。再配合视频讲解，透过题目全方位挖掘解题需要掌握的知识、方法、思路和数学思想的各层次内容。切记做题不是目的，掌握做题的能力才是真正的目标。
如对内容有疑问或问题，欢迎留言、批评和指正。
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历年中考数学压轴题解析与点评——长沙2020（小压轴）（十）
长沙.2019.12
原题：
图1 中考数学-长沙-2019-小压轴12题
详细解析：
视频1 中考数学-长沙-2019-小压轴12题解析
图2 中考数学-长沙-2019-小压轴12题解析
思路分析：
如果你见过这种两边按比例加和的最值问题，那这个就是考察基础方法的知识点而已。哪怕没见过，也应该能凭借数感找到sqrt(5) / 5的突破口，这个就是tanA = 2的∠A的cos值。因此，过D作AB垂线以后，自然就把问题转化为更熟悉的两边长的和的最值问题，而且这两边还有公共点。直接想到的是两边之和大于等于第三边，但看到当前的结构，其实是固定平行线间距离加上定点到定直线上点的距离的和，最小值在垂直的时候取到而已。
试题点评：
此题算作压轴其实有点勉强，毕竟计算量和转化的难度都不大。但这里的解题突破口很有意思，比较合理的我想应该是看到sqrt(5) / 5联想到与tanA = 2的关系，并想尝试把比例系数去掉。结果作完垂线才发现这么个特殊的两边和的结构，自然求解了。你看，其实它并不要求你记住定点到定直线加定直线到直线的距离和的最小值这种方法模式，而是留了别的更直观的通路让你看到这里就自然得到的。因为谁见了两边按比例加和能想到去掉比例还是自然的，而由此看到两边之和想起大于等于第三边也是正常的。虽然这只是猜想，最后并不是这么回事，但我们还是被其他证据带着走入了正确而合理又省力的道路。这些岔路你理不清，总结不全也正常，但同时大部分时候，也根本不影响你以大概率解对题目的，因为正确的路有很多条，只需要至少走对一条就够了。平常一题多解也是为了形成思路，并不是要解这个题而已。所以，也别太钻牛角尖了，相信并维持自己的数学感觉的平衡。哪怕是感觉，它也不会骗你的。
长沙.2019.18
原题：
图3 中考数学-长沙-2019-小压轴18题
详细解析：
视频2 中考数学-长沙-2019-小压轴18题解析
图4 中考数学-长沙-2019-小压轴18题解析
思路分析：
1. 本质上这个图有xy = k，M和A的横坐标一共3个自由变量，因此这里要求面积相等关系，就得先把这些参数都设出来。即直线CD和xy = k的交点为MA，再由此表达出面积相等的等价条件，带入原方程组，发现刚好就是韦达定理，故相等了。
而定性角度分析，当固定住A，把M网上抬升时，会发现△OMD的底和高分别变为无穷大和无穷小，并没有趋于0，因此至少不能否定会相等了。另外，因为本身有反比例函数的等面积三角形存在，因此剩余部分面积也要相等，而本就相似，那就应该是等价于要全等了。这个角度看，若是直接只用肉眼估计，还真有点难。
2. 这里直角三角形加中心对称来的中点，等价了原条件为OM = OA，即M和A关于y = x对称即可，而结论则等价为∠MBA = 60，这显然不对。定性来看，M无穷高，A只要无穷远就行，那∠MBA则接近45°才对，也能轻易排除。
3. M横坐标搞定一个自由度，等边三角形相当于2中的对称条件再确定了A的坐标自由度。再加上另两边相等，勾股定理表达即可确定最后一个自由度k，解得即为所求。
4. 这里要非常敏锐地用好反比例和正比例函数的中心对称性所得到的旋转全等三角形和平行四边形得来的等边关系。以及对共线的边比关系的和差比定理的等价转换，最后加上8字平行线下的相似三角形，用纯几何方法倒换边的比值，即为所求。另外这里的比例系数的加和关系本身也是转化方向的线索之一，可以辅助使用。
试题点评：
这题计算量和思维难度之大，堪称历年长沙小压轴之最了。如果要不靠猜测的完整全部解出，耗时也会非常巨大，所以真的需要一点灵气来模糊猜测再加一点运气了。1就是个方程联立问题，初中最高到这个难度了；2的知识不难，但考察的其实是条件的等价转化问题再加定性分析；3一次性给了3个条件把3个自由变量全部解了出来，仍然要先判断可解性，再开工才有的放矢；4居然考的是在正反比例函数的中心对称性下得到的几何性质下的相似三角形、平行四边形的边比值转化问题，还真是要艺高人胆大才能往这里想和做啊！
长沙.2019.24
原题：
图5 中考数学-长沙-2019-小压轴24题
详细解析：
视频3 中考数学-长沙-2019-小压轴24题解析
图6 中考数学-长沙-2019-小压轴24题解析
思路分析：
1. 1四边形的稳定性；2图形变换的想象力；3显然。
2. 考察SAS的相似三角形的判定定理和对应的性质，再加上对新定义的严格符合使用的学习能力。
3. 这题的图画得有点坑，也是在提醒，哪怕是中考考的图也只是示意图，并不能作为严谨的条件参考的。这里如果见过这种梯形对角线交点处平行线的调和平均的结论（2025.25.3中出现过），加上四边形相似定义中能带来的几何平均，可以轻松找到证明两底相等的方向，证明实际是个平行四边形的结论。如果不知道这个方法模式，现场需要根据公共点O的信息，上下代换去找到边的关系，还是有不小的困难的。
试题点评：
这题的水平和2020.23相得益彰，出现在压轴题之前是完美的难度过渡。前2问就是基础知识考查，而3这里，从考纲来说，你看答案却是没有任何超纲的知识点。但如果你没见过这个梯形对角线平行线长的结构或记得这个二级结论，光现场推导，那就得至少对这个交点O的信息非常敏感地判断必须用上，以及还要找到使用策略。其难度要高得多不说，实际那么紧张的考场环境和时间，哪里有那么充裕的条件啊！所以，应对有限时间的选拔考试，几何模型定势并不是要完全学，也不能完全不学。而是要学到一个恰到好处的程度，记住那些相对底层的证明策略和方法，顺带记住最基础的核心结论。中间要适度放弃那些过于规整而复杂的特异性结论，把自己当作一个复杂的动态规划机器，随时调整脑中知识能力网络的连接策略，才是数学学习的均衡和中庸的精华所在。
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