湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期末考试
数学试题
一择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列
则
A.
B.
C.
D.
2.双曲线
的渐近线方程是
A.
B.
C.
D.
3.已知过点
的直线与曲线
相切于点
的坐标为
A.
B.
C.
D.
4.若
展开式中只有第7项的二项式系数最大，则
A.
B.
C.
D.
5.现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有
A.10种B.20种C.30种D.60种
6.已知等比数列
中，公比
A.有最小值
B.有最小值
C.有最大值
D.有最大值
7.函数
的最大值为
A.
B.
C.
D.
8.函数
的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列
中，
的前
项积为
的前
项和为
时
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线
的焦点
到准线的距离是4，直线
过点
且与
交于
两点，
为弦
的中点，则下列说法正确的是
A.抛物线
的焦点坐标是
B.
C.若
D.若以
为圆心的圆与
的准线相切，则
是该圆的一条直径
10.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则
A.3人选择的地点均不同的方法总数为60
B.恰有2人选一个地方的方法总数为15
C.恰有1人选泰山的概率是
D.若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是
A.第
行的第
个位置的数是
B.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列
则
C.70在杨辉三角中共出现了3次
D.记第
行的第
个数为
选择题答题卡
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用数学归纳法证明
且
13.已知
为坐标原点，点
为圆
上的一动点，则
的最小值为
14.设函数
若方程
有三个实数根
的取值范围是
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本题满分13分)
设
的内角
所对的边分别是
是
与
的等差中项.
(1)求角
;
(2)设
周长的最大值，
16.(本题满分15分)
已知数列
满足
中，
在函数
的图象上.
(1)求
和
的通项公式；
(2)将数列
和
的所有公共项从小到大排列得到数列
求数列
的前
项和
.
17.(本题满分15分)
如图①，在等腰梯形
中，
分别为
的中点，
为
的中点.现将四边形
沿
折起，使平面
平面
.在图②中：
(1)证明：
;
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值
18.(本题满分17分)
设
分别为平面直角坐标系内
轴正方向上的单位向量，若向量
.(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)设椭圆
的切线
交椭圆
于
两点，求证：
为坐标原点)的面积为定值
19.(本题满分17分)
若
则称函数
存在源数列
已知
.(1)证明：
存在源数列；
(2)(i)若
恒成立，求
的取值范围；
(ii)记
的源数列为
证明：
的前
项和
.
湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期末考试数学参考答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B【解析】由
可得公差
:B.
2.C【解析】在双曲线
中,,,因此,该双曲线的渐近线方程为
.故选:C.
3.A【解析】设切点坐标为
把点(-1,0)代入切线方程得,,即
又
(0,1).故选:A.
4.D【解析】由
的展开式中只有第7项的二项式系数最大,得展开式共有13项,所以
.故选:D.
5.C【解析】4个同学站成一排有5个空,甲加入排列有5种情况,队列变成5个人有6个空,乙加入排列有6种情况,由分步计数原理得,共有
种不同的方法.故选:C.
6.B【解析】因为公比
即
时取等号,故可知
的最小值为12,又
可以趋向正无穷大,则
可以趋向正无穷大,即
无最大值.故选:B.
7.D【解析】(法1)因为
所以
由
时,时,.
所以该函数在
上单调递增,在
上单调递减.
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