2025−2026学年湖南省长沙市雨花区九年级(上)期末数学试卷

1．已知（a,−2）和（3，b）关于原点对称，则（a＋b）²⁰²⁶的值为（　　）

2．由二次函数y＝2（x−3）²＋1可知（　　）

3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）

4．若a＋c＝b,则关于x的方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）必有一根是（　　）

5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）

6．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于（　　）

7．在反比例函数y＝−

1

x

的图象上有三点（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）．若x₁＞x₂＞0＞x₃，则下列各式正确的是（　　）

8．如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则

AF

EF

为（　　）

9．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝

a−b＋c

x

的图象在同一坐标系中大致为（　　）

10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（　　）

11．二次函数y＝−2（x＋1）²＋3的顶点坐标为．

12．已知a是方程x²＋2x−2＝0的一个根，则代数式（a＋1）²的值为．

13．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝

1

2

，则sinB＝．

14．从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是．

15．如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为米．

16．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝．

17．计算：（sin30°）²＋tan60°−（sin45°）²＋（cos30°）²．

18．解方程：（x²＋x）²−5（x²＋x）＋4＝0

19．如图，在△ABC中，sinB＝

1

3

，tanC＝3，AB＝3，求AC的长．

20．某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了促销，商场决定适当降价，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

21．如图，反比例函数y＝

k

x

(k≠0，x＞0)与一次函数y＝−x＋3的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

22．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，过D作射线DE交AC于点E，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x,CE＝y,写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？

23．无人机在实际生活中应用广泛．如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A，B，C，D，P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD＝，∠ADC＝；
（2）求楼CD的高度；（精确到0.1米）
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．（参考数据：

⎷

2

≈1.414，

⎷

3

≈1.732)

24．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP＝

3

2

AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．

25．如图①，已知y＝ax²＋bx＋c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P在直线OE下方，连接PE、PO，当m为何值时四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，以P为旋转中心，将PO顺时针旋转90°得到PF，点F恰好落在直线l上，求出符合条件的点P的坐标．