每日一题第2666题(2026年2月长沙一模解答19)

思路简析‍‍‍

今天的题目是2月初考的长沙一模的解答题第19题，难度中等。

题干中给出了函数f(x)=|lnx|+a/x，其中有绝对值，所以后面在处理的时候肯定是要分两段0<x<1和x>1的。第一问给了a=1，然后直接分两段找单调性，结合单调性就可以找到最值了。第二问要直接讨论f(x)的单调性，还是一样的，先分两段，在0<x<1的时候，直接求导讨论单调性，然后在x>1的时候，再求导讨论单调性。最后根据a的不同的范围，再把单调性合一下就可以了。

第三问看起来好像比较麻烦，也没有什么提示，但整体思路还是很自然的。给出了f(x)有三个零点，最后要求三个零点之和>……，首先根据第二问的单调性，先判断一下a的范围，可以得到-1<a<0，并且这时候的三个零点的大致区间也可以得到，就是0<x1<-a<x2<1<x3，而要证的不等式右端是一个二次/一次的式子，显然分离常数后就有一个-2a，所以结合x1,x2的范围，肯定就要考虑极值点偏移了，也就是x1+x2>-2a，那么还剩下一个x3，肯定就要单独卡范围了，把-2a丢掉之后还剩(1-2a)/(1-a)，所以直接考虑证明x3>(1-2a)/(1-a)，因为x3是零点，再结合单调性，就只需要证在这个点的函数值小于0即可，然后利用常见不等式lnx<x-1就解决了。