历年中考数学压轴题解析与点评——长沙2025(一)

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编者按：本系列从本期开始，预计每周发布1期中考数学压轴题的解析与点评。内容以服务长沙地区的考生为主，其他地区也可参考。题目选择按真题优先、长沙和其他教育发达省份题目优先、时间靠近优先的原则选取。

每题具体展开内容包括详细解析、思路分析和试题点评三个模块。再配合视频讲解，透过题目全方位挖掘解题需要掌握的知识、方法、思路和数学思想的各层次内容。切记做题不是目的，掌握做题的能力才是真正的目标。

如对内容有疑问或问题，欢迎留言、批评和指正。

原题：

图1 中考数学-长沙-2025-压轴24题

详细解析：

思路分析：

1. 题设条件考的是非负数和为0则所有数为0的老套路了，上一次出现是2023.25。秉承着去掉式子的消元以及保留直观意义的想法，把y2和x2表示出来消掉，则对偶点为任意（参数）x1和y1生成的两个无序的点对（对象）A1(x1, y1), A2(- y1, - x1)。而从几何变换角度理解为先横纵坐标对调，再添加负号，即先关于y = x对称，再关于原点对称。画图分析得此2点是关于y = - x对称的，且x1 != - y1，即不能在y = - x这条线上，此为题设关于对偶点定义的最简代数加几何意义的理解了。

接着，是对偶函数与否关心的是函数图像上的对偶点对是否存在，化回代数条件即A1和A2都要满足函数关系式。

于是接下来的题目就是依次考察初中学过的几乎所有重点函数背景下的方程组的根的数量问题了。这里考的知识点非常全面，而且这些判断根的数量再到对偶点的数量，都不是直接能刷题得到的，是真的要求对知识和方法掌握后，到底有没有数学思维能力的公平考察。

当然，第1问因为不需要解答过程，这里全程也可以用几何意义直接解决，但1.3稍微有点难度，而且很不严谨，下面说回代数方法：

1.1. 反比例函数有x和y的对称性，因此很容易得出2个式子等价，因此x1和y1只有一组约束，去掉y = - x上的点，无论k的正负，都有无穷组解。

1.2. 经典的二元一次方程，一组解，在y = - x上，无效。

1.3. 这里的二元二次方程根据其生成过程两个式子就是互为对称的结果（对换+添加负号，因为方程组的无序性，所以一组解的对偶点也会是解，因此这里可以辅助预判2组解才对应一组对偶点），在消元时要尽力应用两式加减得到1次的简单关系的必要条件，再代回原方程消元化为一元二次方程。这里还需要比较细致地用好x1 != - y1的条件和对偶点成对出现，多组解可能在一对对偶点的事实，才能准确得到答案。

2. 两条直线的条件完全一致，仅参数名不同，做好其中一个就行。几何直观可以猜想k = 1为条件的等价要求，作为方向指导和校验值去解1.2的带参数形式。同样，要在对称的式子里用好两式加减的处理，可以方便算出k = 1是其为对偶函数的充要条件，面积就很容易算了。注意b1和b2都是常参数，是不需要算出值也可以作为答案的，千万必要害怕。

3. 1.3的带参数形式，方法也一样，感觉2和3就仅仅是参数化的一点点拓展而已，也很自然地用上了二次方程dirta判别式来判断根的存在，同样要细致地判断两个根就是x1和- y1是不能相等的，所以dirta是不等于0的。

试题点评：

本题关于函数（反比例、一次和二次）和方程组的知识点、方法覆盖全面，数形结合的思想提现得淋漓尽致，提倡借助形的辅助定性分析来为代数计算提供方向和校验。思路上，对基本等价条件的化简要求对知识的灵活运用，以对及新定义下对复杂数学语言的理解能力，能否细心、准确地处理每一个细节都有较高的要求。这些特性使得其作为压轴题存在是非常高效地能区分学生水平层次的好题！让死记硬背刷题者无处遁形，让知识以能力的方式留下过痕迹的学生在考试环境下发挥出积累的实力！

原题：

图3 中考数学-长沙-2025-压轴25题

详细解析：

视频2 中考数学-长沙-2025-压轴25题解析

图4 中考数学-长沙-2025-压轴25题解析

思路分析：

1. 突破口在题设中明显特殊的条件CD = AD + BC上，需要转化为有效的直接边长相等才行，故要么CD截长，要么两段拼接补短。如果截长，会发现条件不足无法证明，这里要注意不能连接切点和圆心，证明前切点都不知道存不存在的。因此考虑补短，这里的直角梯形的平行线和圆的重点，在8字模型下很容易把BC移到DA下面，自然得到等腰三角形，三线合一模型，得证。（另外也可以直接作垂线用梯形面积公式算两次得到○O到CD的距离为半径）

2. 用上1的条件这里就是3条切线了，有两组对称的切线直角三角形。这里直角梯形中暗藏了直角三角形，可以用勾股定理得一组边的关系，刚好用上作为高的半径尺寸r，得ab = r ^ 2 = 2。当然也可以用所谓三直角模型来用△DAO和△OBC相似取得。

接着能消元就先消掉b，再带入就很容易看出m = n了。一般思路是能消元就先消元，再化简，不用搞那些花里胡哨的整体代换和式子加减的变形，那都是没法直接消元时候想的办法。

3. 这个图中如果EG∥AD，将有非常多组比例相关的相似三角形和平行线等分比例存在。包括4组A字形和1组8字形，于是先猜想EG∥AD成立。而题设缺少角的条件，故直接从边的比例入手，因为切线带来的截取边的比可以化为平行线上的边的比，再由8字化回截取边的比，平行得证。所以整个EF和DA，BC构成3线平行。

故GF和EG分别比上BC都在8字的边比经过和比后的值上，故相等。而AE * EB在直角边上可以方便地用面积转化到已知的AB * EF上，可用上半径条件。而CD仍然根据1的结论，是a + b，根据2又有ab = 1是来自2的半圆切线的条件限定。再加上a和b与x的比值刚好可以化为同一条边的比的和为1的形式，并最终算得CD = 1 / x，最后所有的边都解决。

试题点评：

中考的压轴题尤其是几何，明显有从竞赛中摘取的特点，但同时特色在于，仍然注重尽量全面的知识考查，而不追求干净漂亮的结论。因此我们经常看到很多奇奇怪怪的式子求关系的结果，其实就是在尽量多铺开考点。好处在于即使无法全做出来也能拿点分，而难处在于原本可能是证明题形式，这下得要求有能力先猜对答案才能证明，对估计和直观猜想能力反而是考察了。

本题出现的常见几何模型有直角梯形（直径切线带来的平行线）中的直角三角形，切线对应的对称的全等直角三角形，直径所对圆周角的直角三角形，8字模型，A字模型，三线平行对角线模型等。因为原始的几何公理和教科书上的定理距离解题太远，因此需要一定量地掌握这些二级结论并领会背后的思想，才能顺利地搭建起知识背后的方法和思路，完成解题。

代数方面也结合在里面，作为考点考了分式的化简。但是你若没有思路的支撑，你怎么想得到是什么考点？所以考点是明的，但思路和方法，甚至数学思想，才是脑海里代表能力的有价值的网络。这些都源于学习中的探索过程每一个点滴的积累，而这样的题目也确实足够好地反映出学生的能力，好题！

下期见！