湖南省长沙市 长郡集团2024-2025学年八年级下学期数学期末测试卷
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
一、选择题 （共10题）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x-xy+3y2=0B．ax2+bx+c=0C．x2-2=0D．x2+=0
2．下列函数的图象不经过第一象限，且随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．在全国少年乒乓球锦标赛的准备阶段，甲、乙、丙、丁四名选手各进行了10次训练测试，他们的平均得分相同，方差分别是，，，，则这四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，4）C．（2，0）D．（﹣2，0）
5．某校八年级（一）、（二）两班的同学期末数学测试成绩（单位：分）统计如下：
班级 | 人数 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
（一）班 | 50 | 85.4 | 82 | 84 | 26 |
（二）班 | 50 | 85.4 | 83 | 82 | 25 |
下列关于两班成绩的分析不正确的是（ ）
A．两班的平均成绩相同
B．若83分以上为优秀，则（二）班优秀人数不少于（一）班
C．（一）班成绩比（二）班成绩稳定
D．从众数来看，（一）班成绩比（二）班成绩好
6．随着环保意识的增强和技术的革新，新能源汽车逐渐成为消费者的热门选择，某品牌新能源汽车今年3月份的销量为1200辆，由于国补政策的连月升温，5月份的销量为3500辆，设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．某班对一小组7名男生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2■，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
8．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③若，为方程的两个根，则；④若抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题 （共6题）
11．方程的两根为，，则的值为．
12．盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按，面试按计算总成绩．如果小王笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小王的总成绩为分．
13．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象得的解集为．
14．如果方程可以配方成，那么．
15．飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行
16．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则当的值最小时，点的坐标为．
三、解答题 （共9题）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积．
19．已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
20．在“悦读青春，书香筑梦”主题活动中，求真中学不仅在校内开设阅读课程，同时倡导亲子共读，校内外共同营造书香氛围．为了解本校八年级学生亲子共读的开展情况，随机调查了该校八年级名学生每周亲子共读的时间（单位：），根据统计的结果，绘制出如图1、图2所示的两幅统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为________，的值为________，统计这组学生每周亲子共读的时间的众数和中位数分别为________和________；
（2）求统计的这组学生每周亲子共读的平均时长；
（3）若求真中学八年级共有学生700人，现为亲子共读时长达到10小时的学生授予“书香达人”称号，请估计该校八年级学生能获得“书香达人”称号的人数．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）当时，求自变量的取值范围．
22．为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入．
（1）如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？
（2）为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
23．某直播平台为备战“618”，准备代销进价为10元/本的精美手账本，根据品牌方要求，销售价不低于进价、且不高于进价的2倍，试销期间的数据显示：若刚好以进价出售，日销量为60本，当价格每提升1元时，日销量则下降2本.
（1）直接写出日销量y与销售单价x的函数解析式；
（2）手账本销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少?
24．若抛物线：（，，是常数，）与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系．此时，直线叫做抛物线的“郡线”，抛物线叫作直线的“粹线”．
（1）若直线与抛物线具有“长郡培粹”关系，求，的值；
（2）若某“粹线”的顶点到两坐标轴的距离相等，它的“郡线”的解析式为，求此“粹线”的解析式；
（3）当常数满足时，求抛物线：的“郡线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
25．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点．
（1）求点，的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
【答案区】
1．【答案】C
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得 x2-2=0 是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是二次，这样的方程叫做一元一次方程.
2．【答案】D
【解析】
【解答】解：∵随的增大而减小 ， ∴k<0， ∵函数的图象不经过第一象限， ∴b≤0， ∴D选项符合题意.
故选：D． 【分析】根据题意可得k<0、b≤0，再判断即可.
3．【答案】D
【解析】
【解答】解：∵0.8<1.5<1.8<2.3，方差越小，表示测试成绩的波动越小，稳定性越高，
∴丁成绩最稳定．
故选：D．
【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】
【解答】解：顶点坐标是（0，﹣4）.
故选：A．
【分析】根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、由表格中的数据可得两班的平均成绩相同，A正确； B、由中位数可得（二）班优秀人数不少于（一）班，B正确； C、由方差可得（二）班成绩比（一）班成绩稳定，C不正确； D、从众数来看，（一）班成绩比（二）班成绩好，D正确.
故答案为：C.
【分析】将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数叫做这组数据的平均数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
6．【答案】B
【解析】
【解答】解：设每月销量的平均增长率为 ，
故选：B．
【分析】设月平均增长率为 ， 则5月份的销量为 ， 由此建立方程．
7．【答案】C
【解析】
【解答】解：由题意可得，中位数为31， 则与被涂污数字无关，平均数，方差和众数都受到被涂污数字的影响.
故选：C．
【分析】根据相关数据的确定方法，进行判断即可．
8．【答案】C
【解析】
【解答】解：平移后的抛物线的解析式为.
故选：C．
【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案．
9．【答案】C
【解析】
【解答】解：抛物线的对称轴为 ，
则点的对称点为 ，
∵ ，
∴当 时，y随x增大而减小，
∵ ，
∴ .
故选：C． 【分析】根据解析式可知抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性将所有点转换到对称轴同一侧，根据抛物线的性质判断即可得到答案．
10．【答案】C
【解析】
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴ ， ∵对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ，
故②不正确；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点位于 ， 两点之间，对称轴为直线 ，
∴另一个交点在 ， 之间，
∴当时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 为方程的两个根，
∴ ，
∴ ， 故③正确；
∵顶点纵坐标为 ， ， ，
∴ ，
∵抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 故④正确.
故选：C．
【分析】由图象得 ， ， 由对称轴为直线得 ， 可得 ， ， 判断①②； 抛物线与x轴的一个交点在 ， 两点之间，由对称性知另一个交点在 ， 之间，得 ， 于是 ， 进一步推知 ， 由根与系数关系知 ， 判断③； 顶点纵坐标为 ， 抛物线与轴的两交点间的距离为 ， 两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形， ， ， 判断④．
11．【答案】【第1空】；
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为 ， ， ∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为 ， ， 则 ， .
12．【答案】【第1空】；
【解析】
【解答】解：根据加权平均数的计算方法可得：
因此小王的总成绩为88分. 故答案为：88．
【分析】依据加权平均数的计算公式列出正确算式.
13．【答案】【第1空】；
【解析】
【解答】解：由图像可得：当时，.
故答案为：. 【分析】根据一次函数图象与x轴的交点，确定该函数图象位于x轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．
14．【答案】【第1空】1；
【解析】
【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵将可以配方成 ，
∴
故答案为：1．
【分析】将展开，再整理，再根据配方后可得 ， 即可求出n的值．
15．【答案】【第1空】；
【解析】
【解答】解：
故答案为： ． 【分析】飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此将函数解析式配成顶点式，根据y=a(x-h)2+k中当x=h时，y的最大或最小值为k即可得出答案.
16．【答案】【第1空】；
【解析】
【解答】解：连接 ， ， 设交抛物线对称轴于点 ，
∵抛物线 ， ∴对称轴为x=1，
∴点A和点B关于对称轴直线对称，
∵ ，
∴ ，
∴当与点重合时，取得最小值，最小值为 ，
∵当时， ， 则 ，
当时， ，
∴ ，
∴ ，
设的解析式为（k≠0），
将、分别代入中， 即 ，
∴
则的解析式为 ，
令 ， 则 ，
则.
故答案为：.
【分析】连接 ， ， 设交抛物线对称轴于点 ， 当与点重合时，取得最小值，最小值为 ， 令分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标．
17．【答案】
（1）解：两边都开方，得，
即，，
解得：，.
（2）解：移项，得，
提取公因式，得，
解得：，.
【解析】解：
即 ，
解得： ，
解：
解得： ，
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
18．【答案】
（1）解：将点和分别代入 一次函数 中， 即， 解得：， ∴一次函数的解析式为；
（2）解：当， 则， ∴， ∴与轴交于点， 当， ∴与轴交于； ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
【解析】解：∵一次函数的图象经过和两点
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为；
解：当 ，
∴与轴交于；
当 ， 则 ，
解得： ，
∴与轴交于点 ，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【分析】（1）将点和分别代入 一次函数 中，即可得出答案；
（2）先求出直线与坐标轴的交点，再由三角形面积公式求解．
19．【答案】
（1）解：∵ 方程的一个根为2， ∴， ∴， ∴方程为， ， ，， ∴方程的另一个根是．
（2）证明：∵， ， ， ， ， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【解析】解：将代入方程，得： ， 解得： ．
当时，方程为 ，
∴方程的另一个根是 ．
证明：∵在中， ，
∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）将代入方程，求出 ， 即可得出原方程为 ， 即可的出答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式得到 ， 再根据平方的非负性，即可证明结论．
20．【答案】
（1）50；34；8；8
（2）解：， 答： 这组学生每周亲子共读的平均时长为 8.36h.
（3）解：（ 人）， 答：该校八年级学生能获得“书香达人”称号的人数为112人．
【解析】解：人
则
∵阅读8小时的人数出现的次数最多，为17次，
∴众数为 ，
一共有50人，按从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，
即、
解：这组学生每周亲子共读的平均时长：解：人
该校八年级学生能获得“书香达人”称号的人数为112人．
【解答】（1）解： ，
∴ ，
∵阅读8小时的人数出现的次数最多，为17次，
∴众数为 ，
一共有50人，按从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，
即. 故答案为：50；34；8；8.
【分析】（1）用1减去其他占比即可得出m的值，根据阅读7小时的人数和占比即可求出a的值，根据众数和中位数的定义求解众数和中位数即可；
（2）根据加权平均数的定义进行求解即可；
（3）用总人数乘以亲子共读时长达到10小时的学生的人数占比即可求解．
21．【答案】
（1）解： ∵抛物线经过点和点，
∴，
∴，
则抛物线所对应的二次函数的解析式为．
（2）解：令，即， ∴， ∴，， ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，．
【解析】解：把点 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
则抛物线所对应的二次函数的解析式为 ．
解：令 ， 即 ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵抛物线中， ，
∴抛物线开口向下，
∴当时， ．
【分析】（1）将点 ， 代入中，即可得出答案；
（2）令 ， 再结合图象开口方向解答即可．
22．【答案】
（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则=36-2x， ∵ 围成面积为144平方米 ， ∴， ∴或， 当时，，故不符合题意； 当时，符合题意， ∴的长为米.
（2）解：不能，理由如下： 假设展示区面积拓展为180平方米， 则， ∴， ∵， ∴该方程无实数根， ∴展示区面积不能拓展为180平方米．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
设 ， 则由题意得 ，
∴ ，
解得：或
当时， ， 故不符合题意；
当时，符合题意，
∴的长为米；
解：不能，理由如下：
假设展示区面积拓展为180平方米，
则
整理得： ，
∵ ，
∴该方程无实数根，
∴展示区面积不能拓展为180平方米．
【分析】（1）设 ， 则由题意得 ， 根据题意列方程，即可得出答案；
（2）假设展示区面积拓展为180平方米，则 ， 再根据一元二次方程根的判别式判断即可．
23．【答案】
（1）解：根据题意可得，，其中，
即.
（2）解：设利润为w元，则，
当时，w随x的增大而增大，
故当时，w有最大值，最大值是400.
答：手账本单价为20元/本时，所获日销售利润最大，最大利润是400元.
【解析】【分析】(1)当销售单价为x元时，日销量则下降2(x-10)本，故日销量为y=60-2(x-10)=80-2x. (2)设利润为w元，则 ， 利用二次函数解析式的性质可得当时，w随x的增大而增大，又根据销售价不低于进价、且不高于进价的2倍可得当时，w有最大值，最大值是400.
24．【答案】
（1）解：∵直线与抛物线具有“长郡培粹”关系， ∴ 抛物线：（，，是常数，）与直线都经过轴上的一点， ∴当时， 直线 ，即， 抛物线 ，即， ，， ， 顶点为， 直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系， ∵ 抛物线的顶点在直线上， ， ∴， 综上所述：，.
（2）解：当时，，在抛物线中：， ， ∴当y=4时，即4=c， ∴， 抛物线的顶点为， 直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系， ， ∴， ∴，（舍去）， 抛物线的顶点为， “粹线”的顶点到两坐标轴的距离相等， ， ①当时， ∴， 经检验：是此方程的根， ； ②当时， ∴， 经检验：是此方程的根， ； 故“粹线”的解析式为或；
（3）解：当时，， ， 可设直线为：， 由抛物线得，顶点为， 直线与该抛物线具有“长郡培粹”关系， ， ∴， 令， ， 且， ， ， 直线为：， 当时， ， ∴， ， ， ， 令， ， ， ， 令， ， ，， 当时， ， 当时， ， ， ， ， ．
【解析】解：当时，
直线中： ，
抛物线中： ，
解得： ，
故： ， ；
解：当时，
直线中：
抛物线中： ，
抛物线的顶点为 ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
①当时，
解得： ，
经检验：是此方程的根，
②当时，
解得： ，
经检验：是此方程的根，
故“粹线”的解析式为或；
解：当时， ，
由抛物线得：顶点为 ，
整理得： ，
令 ，
且 ，
当时，
解得： ，
令： ，
令 ，
当时，
【分析】（1）第一步先求出点的坐标，再将点P代入抛物线解析式，即可求出对应参数的值，得到最终结果；
（2）先结合题目给出的新定义，确定点 ， 再推导得到抛物线顶点坐标为。结合题目“粹线的顶点到两条坐标轴的距离相等”这一条件，可以得到等式 ， 对该等式分情况讨论，即可求出抛物线对应的解析式； （3）首先根据新定义确定点 ， 再利用待定系数法求出直线的解析式为 ， 结合三角形面积公式推导得到面积表达式 ， 令换元整理，得到 ， 最后结合二次函数的性质即可求出面积S的最小值。
25．【答案】
（1）解：当时， ∴， 当时，， ∴， 抛物线经过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，即， ∴或， ∴.
（2）解：连接， ∵点M在抛物线上， ∴设， 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为18.
（3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，或， 当点在抛物线上时，有， 解得，或， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【解析】解：令 ， 得 ，
∴ ，
令 ， 由 ，
∴；
把、两点代入得，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
令 ， 得 ，
解得：或 ，
∴；
解：连接 ， 如图，
设 ，
则
∴当时，四边形面积最大，其最大值为18，
此时M的坐标为；
解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段 ， 如图，
∴ ， ，
∴ ， ，
当在抛物线上时，有 ，
解得，或
当点在抛物线上时，有 ，
解得 ， 或
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【分析】（1）根据点A、C在坐标轴上，求出其坐标，再将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式；
（2）连接 ， 设 ， 得到 ， 再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．
