尝鲜:2026各地中考压轴大赏——长沙
- 2026-08-09 23:02:42
尝鲜:2026各地中考压轴大赏——长沙网上只看到三道压轴题（T23,24,25），真实性未知。如果是真的，那么后两题在难度和区分度上是目前做过的中考题中最强的，背后都有竞赛题的影子。T24以极点极线为背景，T25贯彻了解析的思路，对联立、韦达、因式分解、求根、乃至坐标变换都进行了考察。点赞：命题人胆子真大，湖南人骨头真硬。 
T23是老题，切线与半圆组合的结构，屡见不鲜，难度不大。 第一问，易知被平分的两个角的余角组成了对应的弦切角和圆周角，秒证。 第二问，接着上一问，在角平分线的基础上过C作AB的垂线，把BP转移到直径AB上，在直角三角形ABC中使用射影定理就可得到10y=x^2 
第一问，送分 第二问，遇到判断角度是否恒定并求值的题目，往往可以采用“先猜后证”的方法。比如今年北京的几何压轴题 ：尝鲜：2026各地中考压轴大赏——北京 迅速判断当M为BC中点时，BC与DP垂直，角BPM为60度，由此猜测它的值恒为60度，尝试往这个方向证明。 从角BPM为60度倒推，得到DBPC四点共圆。要证四点共圆，有很多路子可以选择，比如证对应角相等或互补，或者证对应线段乘积相等，还可以考虑托勒密。 因此再回头从已知条件正推，看看哪条路可以迅捷地通向这个四点共圆。 遇到平行四边形边上动点的结构，构造8字模型来探索和转化线段比例是常见的做法。因此，延长DM与AB延长线交于E点。 
由两组8字模型，三角形DMC和EMB，三角形CMN和BAM，把成比例线段统一到两条直线上：BE/CD=BM/MC=AB/CN 利用角DAB=60度,把CD,AB和BD,BC进行等量替换，得到BE/BD=BC/CN，易知角DBE=角BCN=120，所以三角形DBE和NCB相似，角BED=角NBC=角PDC 这样，我们就得到了DBPC四点共圆的条件，证实了我们的猜测。 实际上，如果学过一点调和与极线的几何知识，很容易看出M点是圆内接四边形对角线的交点，BD是点A的切点弦，N点是两条对边的交点，AMN共线是一个典型的极点极线的构型。 第三问，在四点共圆明晰的条件下，这一问就非常简单了。 
与第二问同样方式可知DBCP四点共圆，由相交弦定理得PN*NB=DN*NC，而S=√3/2CD^2, 所以CN(CD-CN)=1/5CD^2,由此解得CN/CD=CM/BM的值，k值也就出来了。 这条思路的解题难点在于如何快速找到四点共圆的判定条件，平时对平行线间的线段比例问题要训练有素。 
第一问，送分。但是注意，这里隐藏着一个简化第三问的巨大线索（好狡猾的命题人！） 第二问，关键在于读懂题意。函数图像上存在2个不同的靓点，意味着这两个点的坐标即要满足靓点方程，又要满足一次函数方程，或者说，这两个方程联立后的方程组，要存在2组不同的解。所以，这本质上是一个判断根的个数的问题。 将这两个方程联立后，消去y，化成一个只含x的一元二次方程： kx^2+(m-k-1)x-m=0,其判别式为：（m-k-1)^2-4km 要存在2个不同的根，判别式需要大于0，所以只要证明上式在k>0的条件下恒大于0即可。 这就是考察代数式变形的功夫了。将（m-k-1)^2看作((m-k)-1)^2,把(m-k)^2拆出来和后面的-4km组合，原式可化为(m+k)^2-2(m-k)+1,再配一下方，化为((m+k)-1)^2+4k, 就足以证明式子大于0了。 第三问，基本思路不变。把靓点方程和二次方程联立。 先把二次方程的y代入靓点方程，消去y: x+a(x-2)^2+2=x(a(x-2)^2+2），得到(x-2)(ax(x-2)-a(x-2)-1)=0 首先得到x=2,y=2这组解，相当于ax^2-3ax+2a-1=0有存在两根，且 (x1)^2+(x2)^2=(y1)^2+(y2)^2 由韦达定理，易得到两根平方和为两根和的平方减去两根之积的两倍。再由靓点方程，把y1,y2的平方和也由x的两根和，两根积的表达式，得到关于a的方程：a^3-3a+2=0 由试根法得到a=1是方程的一个根，用长除法进行因式分解： (a-1)(a^2+a-2)=(a-1)^2(a+1)=0, 得到a=1或a=-2 需要将这两个根代入关于x的二次方程的判别式进行检验，确保原方程有两个不同实根且不为2，所以舍弃a=1，保留a=-2 整个思路就是高中解析大题的基本思路，提前到中考，挺好。 在应用联立方程和韦达定理解题时，计算量不小。那么本题有没有更快捷的方法呢？ 注意到第一问特别提示：P和Q的对应关系，同时二次函数式可以化为含有（2-x)和(2-y)的形式，所以可以通过坐标变换来大幅简化计算： 变换后，相当于y=-ax^2图像上有3个靓点，且(x1^2+x2^2+x3^3)=(y1^2+y2^2+y3^3) 将新的二次方程与靓点方程联立，得到ax^3-ax^2+x=0 所以x=0为其中一根,且ax^2-ax+1=0 这时再用韦达，y1+y2=-a(x1^2+x2^2),y1y2=-a^2(x1x2)^2,比原方程的表达式要简单许多。 代入(x1^2+x2^2)=(y1^2+y2^2)后，同样得到a^3-3a+2=0，求出a值后检验即可。 坐标变换后计算大为简化，果然没有随便问的第一问。
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