历年中考数学压轴题解析与点评——长沙2025（一）

原题：

图1 中考数学-长沙-2024-压轴24题

详细解析：

视频1 中考数学-长沙-2024-压轴24题解析

图2 中考数学-长沙-2024-压轴24题解析

思路分析：

1.1. 这里知识层面的内容其实不难，反例也很容易直观构造和证明，难点其实是高中才会系统讲的逻辑用语和数理逻辑中的一阶逻辑。即“一定不是”的意思其实是任意量词的否定，只需要找一个存在的反例就行了。当然即使没有严格学过，靠模糊的语言网络也能理解，但都学到根上放心的感觉还是最舒服的不是？

1.2. 菱形的对角线为角平分线的性质，90度则刚好是矩形的条件，又刚好影响对角是否互补，考点还是很全面了。

1.3. 通过结论直观猜出来大致是正方形以后，如果要严格证明还是要费点功夫，但小题不需要过程，所以有足够好的直观几何推断和估算能力才是临场考察的要点。

2.1. 有内切圆的四边形性质在初中一般学习中并非重点知识，但完全可以由基本知识推导出来。而题设给的条件，正好给予了相关推导方向，所以很容易联想到有内切圆对边和可能是相等的，再证明，再反证逻辑得到结论。

2.2. 证明直径，可以直接证明圆心角180度，圆周角90度，或者与交在圆上的切线成90度交等等。这里是经典的角平分线下的数值等量关系推导的结果。

3.1. 这题每一步的思路其实都线索明确，弯弯绕绕并不多。证明垂直等价于相交的任意角为90度，则在三角形里是两角互余（勾股逆定理根本没有边的条件而放弃使用），角延展到圆上有圆周角到其他圆周角、圆心角的转化，这是从结论出发的分析。从条件出发，有内切圆，自然地要连接圆心和切点得到4条相等长度的半径和垂直关系。4点共圆的角的条件表示就是对角互补。于是二者一结合，圆周角自然地划拨到圆心角上，而圆心角又在对称的切线三角形拼成的对称风筝图形的顶角处，解方程即得结论了。

3.2. 题目的图形其实源于4组两两全等而互相对称的直角三角形，再加上对角互补和角平分线关系，可以容易得出互余，进而得到两组互相的相似。而题设中的相关边是4条半径r，d和3条已知的连线长度，因此刚好勾股定理用来表达每个直角三角形的第三边。剩下两组相似的边比关系刚好表达完所有信息，也刚刚好够解出2个未知数（随便两边的比就好了，因为第三边也是勾股定理算得的，成比例的性质会保持过去）。

试题点评：

前面2问的热身还是给得很有梯度的，为最后的压轴高潮做足了思维铺垫，但实际关联也没有特别大，或许只是为了控难度给点容易内容吧。

总体考察的几何模型是含内切圆四边形，其存在的4组全等对称的三角形组成的风筝，以及对边和相等这样的次级结论。加上四点共圆的对角互补性质的使用，结合在一起得到了题设中的完美型双圆四边形。其实这完全可以作为一个独立的知识点出现在教学材料中，但显然不如平行四边形和垂径定理这些通用和优雅。作为压轴题而不是定理出现很反映这些结论的地位了，自然也很考察学生是否真的有研究几何性质的能力，是很好的题目了。当然你硬是全刷过，记住了，那算你本事。

就像思路分析中说的，解题中每一步推导方向都有足够清晰的特征指引。因此知识要有方法和思路去串出来能解题，就需要足够熟悉基本图形和对定理结构的底层理解到位，才能真的灵活地作出猜想、变换和链接到最后的结果。3.2为了全面考察边的相关性质，引入3条边的长度算另外2条，这种强行植入的有点丑陋的计算题或函数关系题也是中考特色，看多了自然也就知道那么个玩意。这里列方程解答的来源自然是几何定理，而关于朝哪个方向列，列多少就够用了，这些却是解方程组能力的考察。

本题无论从难度区分、考察知识点的全面、方法能力的深度来说，都是非常经典、值得反复咀嚼的好题！

原题：

图3 中考数学-长沙-2024-压轴25题

详细解析：

视频2 中考数学-长沙-2024-压轴25题解析

图4 中考数学-长沙-2024-压轴25题解析

思路分析：

1. 二次函数背景下的解方程组问题，最基础的数形结合的定义。3个

未知数，2个方程，消掉目标式子中没有的变量即得。

2. 这题很考察对因式分解解方程、配方法、求根公式等方法的理解和使用，以及更基础的对函数对象中的形式、参数、点和坐标等概念的本质理解。在原式中，a是固定参数（常数），y1, 2是本可以取任意值的两个函数上点的纵坐标，被此式子所限制。注意这里我说的是式子，不是2元方程，更不是a的一元二次方程。因为这压根就不是一个方程，只是一个限定了其中若干有关系变量值的一个式子而已！其中a必须是参数，(y1, y2)作为一组解使得其成立。

但注意，我们在一元二次方程求解时学到的因式分解、配方法、求根公式，这些方法本质上都只是式子的变形方法而已，只依赖于对应形式的式子而存在，根本不要求对象是特定的方程！而我们学的时候，只是把它用在了把关于x的2次多项式的x想等价转化为x = f(a, b, c)时候的方法而已，此谓解方程。而有时候对非方程的对象，只是模模糊糊地使用。因此，这里照样可以用因式分解，但要非常明确两个因式为0是用或连接，以及等价写法上，为的是要给y1, 2找限定条件，因此等式理解时要理解为y1或y2 = - 2a，再结合其是函数图像上的点来用数形结合或直接判断出有根的dirta来的不等式来作为条件推导原一元二次方程有根，即函数与x轴交点的情况了。

当然，这里完全也可以用以a为变量的配方法或求根公式算，甚至把原式看成y1的一次方程来分类讨论得到其解，也是完全等价来的。总之我们对式子能做的就只有等值变换，对方程能做的只有等价变形和变量代换，而求解的意义则是另外赋予的。

3. 和2类似，两个式子结构一致可替换（(y1, y2) = (- y3, - y4)），只需要处理一个就行了。发现无法分解因式，那就先用求根公式，不论是以y1, 2还是a为变量都可以得到结论。当然，有本事一眼看出是两个平方的和更厉害，不过这个有点冷门，并非常用的配方方向，但不会也不影响解题。

于是数形结合下来，AB，CD，EF就是二次函数的三条弦，由y = - a, 0, a直线截取而来，对应的有二次函数的水平弦长（二次方程两根只差的绝对值）公式表达。

接着的问题有点繁琐，首先是三角形特殊角30度直角三角形的3边关系知识点，加上分类讨论思想的嵌入，还要最好是数形结合判断3边大小关系，才把可能性缩减为2种。

在用3边关系表达题设的形状条件时，要做到最简等价表达。既要是原题意的充要条件，同时不要有冗余式子干扰求解。比如写了两边的比，第三边和勾股定理就没有意义了，且最好不要上勾股定理，式子太复杂。

继续求解时则需要观察式子特征和求解目标，本质上对于齐次式要作好换元来求出比值。这里因为式子中反复出现dirta的结构，因此还考察有否能力做整体换元来简化运算。

最后需要检验m的值是否符合题意，表面上是是否细心的考察，本质上是对题意的每一步转化是否严谨等价的意识和在时间紧张下的直觉反映是否足够靠谱的考验。

最后的最后，还要把公式带回去求函数最小值，把化简条件带入顶点公式即可，是真的没有难度，但真考细心了。

试题点评：

本题考察的是二次函数函数和方程（组）的相关知识和方法，在中考中反复出现的有多元一次方程组的消元化简、二次方程的求解（因式分解、配方和求根公式）、两根之差（二次函数水平弦长）公式、顶点坐标公式，齐次方程组的化简求值。这里甚至还创新地结合了特殊角的直角三角形，考察方式非常灵活，需要有对知识的深刻理解。

思路和思想方面，其一是函数观点看待方程的联动。其二是数形结合，既可以作为辅助的方向判断，也作为解题直接依据。其三则是分类讨论，甚至在2和3问中反复出现。而这些数学思想方法本就是构成整个中学阶段的核心。就差一个化归没有明着考察，但这里以表面奇怪，背后仍用二次方程求解技术来解决的过程，其实也是暗中在用了。

看完我也感慨，这些真题的水平是真高啊，做出来真不算本事，在有限时间内做出来才算有点本事。而能够出出来，或者至少能剖析清楚，我要会做出类似级别的题目，需要怎样的底层能力，题目到底考了什么从知识、方法到思路和思想的内容，这才是拉开学生考试甚至是人生能力的真正秘密。

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