平移转化巧解2026长沙中考数学25题

引言

中考数学的新定义压轴题，经常让同学卡在同一个地方：碰到一个从没见过的概念，硬着头皮直接列方程，结果三次方程解不动、韦达定理越代越乱，第三问干脆空着。

这道长沙中考的"靓点"题就是一个例子。表面上是全新的定义，但如果你不急着动笔，先停下来想想这个定义到底在说什么，就会发现它和反比例函数只隔了一层窗户纸——"靓点"其实就是平移后的反比例函数，整道题的内核还是函数图象的交点问题。

很多同学第三问做得吃力，问题出在抱着原式死算，一头扎进三次方程。但如果能结合图象，用一次坐标平移把双曲线还原成标准反比例函数，再借助图象特征找到一个固定交点把方程降次，三交点问题就变成了普通的二次方程韦达定理。

这篇文章把这道题从头拆一遍：先看清定义的本质，再讲平移转化的思路从哪来，最后走完完整解答。重点不是告诉你怎么算，是告诉你这个解法怎么想到的。

原题呈现

(2026 长沙中考 T25) 我们约定：在平面直角坐标系中，当点  的坐标满足  时，称点  为"靓点"。请你根据该约定解答下列问题：
(1) 若点  为"靓点"，则点  是否为"靓点"？请你作出判断并给出证明。
(2) 当  时，求证：关于  的函数  ( 为常数) 的图象上总存在 2 个不同的"靓点"。
(3) 已知关于  的二次函数  ( 为常数) 的图象上存在 3 个不同的"靓点"，，且满足 ，求  的值。

题目分析

这是一道典型的中考新定义函数压轴题，概念看着陌生，但全程都在初中核心知识点范围内。

1. 拆开新定义：本质是平移后的反比例函数

"靓点"的条件是 ，先做一步代数变形：

移项得 ，两边加 1 凑因式分解：

结论很清楚了：所谓"靓点"，就是反比例函数  向右平移 1 个单位、向上平移 1 个单位后，双曲线上的点。整道题从"在陌生规则里找靓点"，变成了我们反复练过的问题——求给定函数与这条双曲线的交点。

2. 为什么要平移坐标系？

标准反比例函数  是我们最熟悉的模型——对称性、倒数关系、韦达定理，怎么用都顺手。但平移后的双曲线坐标里会多出一堆常数项，运算繁琐还容易错。

既然曲线本来就是平移得到的，干脆让坐标系也跟着平移，把双曲线的中心拉回原点，把问题完全放进课本里的标准模型来解。

令 ，（几何意义：图象整体向左、向下各平移 1 个单位），"靓点"条件直接化简为 。

3. 三小问的考点分层

• • 第(1)问：考函数的对称性。平移后反比例函数关于原点中心对称，对应回原坐标就是点  的对称关系。送分题，考的是基本概念。
• • 第(2)问：考直线与双曲线的交点个数。平移后联立方程，用一元二次方程判别式证明。常规考法。
• • 第(3)问：压轴难点。突破口在数形结合——平移后抛物线的顶点是 ，恰好落在双曲线上。这意味着  一定是联立方程的根，三次方程可以直接降为二次，接下来就是韦达定理的常规应用了。

详细解答

先做统一的坐标变换：令 ，，则原坐标与新坐标满足：

此时"靓点"等价于新坐标系下的 ，即反比例函数 。

(1) 判断点  是否为"靓点"

解：点  是"靓点"，证明如下：

 点  为"靓点"，对应新坐标  满足 。

点  对应的新坐标为：

即点  满足"靓点"的等价条件，故点  是"靓点"。

(2) 证明一次函数图象上总存在2个不同的"靓点"

证明：

将 ， 代入一次函数 ，得平移后的解析式：

整理得：

联立反比例函数 ，消去  得：

两边同乘  整理为一元二次方程：

，方程为一元二次方程，计算判别式：

，，又 ，故  恒成立。

方程总有两个不相等的实数根，即函数图象上总存在2个不同的"靓点"。

(3) 求  的值

解：

将原二次函数配方：，代入坐标变换得平移后的二次函数：

整理得：

联立反比例函数 ，得方程：

两边同乘  并整理，得三次方程：

对左边分组因式分解：

即：

由此得方程的一个固定根 ，对应 ；

另外两个根  是方程  的两个实数根。

 图象上有3个不同的"靓点"，

 方程  有两个不等实根，且不等于1。

由判别式 ，得  或 。

由韦达定理，对  有：

由 ，得纵坐标的和与积：

已知 ，对三个交点分别代入坐标变换关系 、、，以及 、、，代入等式得：

把左右两边的完全平方分别展开：

• • 左边展开：
• • 右边展开：

左右两边都含有3个常数项“1”，合计都有“+3”，可以同时抵消消去，等式简化为：

我们已经求出第一个固定交点对应 、，代入计算这一项的贡献：

• • 左边：
• • 右边：

这部分在等式两边数值相等，可以同时消去，因此原条件最终简化为只关于后两个交点的式子：

分别计算平方和：

代入化简后的等式：

整理得：，即 

因式分解：，解得  或 。

检验：

• • 当  时，二次方程为 ，，无实根，舍去；
• • 当  时，二次方程为 ，，有两个不等实根，符合题意。

综上， 的值为 。

解法总结

这道题的解题路径不是取巧，而是处理中考新定义题的一条通用思路：

• • 去包装：拿到新定义先做代数变形，认出它背后对应的是哪个课本基本函数（本题是反比例函数平移）；
• • 转模型：用坐标平移或换元，把陌生曲线变成标准模型，回到已学知识体系里解题；
• • 降难度：借助图象的几何特征（定点、对称性等）来指引代数方向，比如预判根的位置、实现降次；
• • 验结果：参数求出来之后，代回去检查交点个数，避免增根。

解法对比与题目评析

（一）两种解法的对比

这道题的主流通法有两种：一种是直接按定义联立的常规直译解法，另一种就是本文讲的平移转化法。两种方法在运算量和思维路径上差别很大。

简单说，常规解法是"题目怎么说就怎么列"，属于硬算，很多同学第三问做不完、算不对就是这个原因。平移转化法的思路是"先看清本质再动手"——多了一步坐标变换，但把整个问题拉回了最熟悉的知识框架里，越往后越顺。

这其实就是压轴题在筛的东西：能拉开差距的往往不是算得快不快，而是能不能先一步把陌生问题转化成熟悉问题。

（二）对这道题的整体评价

从命题设计看，这道长沙卷压轴题的梯度设置很清晰：第(1)问考概念理解和对称性质，面向全体考生；第(2)问考代数推理和直线与双曲线的交点规律，面向中等以上考生；第(3)问考综合应用，结合二次函数与韦达定理做分层选拔。整套题区分度合理，全程在初中核心知识内，没有偏题怪题，也没有超纲。

对照《义务教育数学课程标准（2022年版）》来看，这道题的命题方向与新课标有几点明显的呼应：

1. 1. 素养导向，不靠套路拿分。题目以全新定义为载体，不考固定的题型模板，考察的是现场学习、概念抽象、知识迁移的能力，对应新课标提出的"符号意识""几何直观""推理能力"等素养要求。靠死记硬背、套路刷题在这种题上占不到便宜。
2. 2. 强调对数学本质的理解。题目的内核是函数图象交点问题，化归与转化、数形结合、函数与方程三大思想贯穿始终。平移解法能成立，正是因为学生需要真正理解反比例函数的图象特征和平移的几何意义，而不是背了一个套路。
3. 3. 立足基础，考综合。因式分解、一元二次方程判别式、韦达定理、函数平移等，全是初中核心基础内容。通过新定义包装和综合设问来考察知识整合能力，方向与新课标一致。

（三）备考建议

结合这道题的特点，有几点值得在复习中注意：

一是新定义题最重要的第一步不是列方程，是"去包装"。碰到陌生概念，先沉住气做代数变形，把背后的基本函数或几何模型认出来。把陌生问题拉回课本里的经典模型，比直接硬算高效得多。

二是数形结合要落到具体的操作上。做函数题时主动去想图象的顶点在哪、有没有固定交点、对称性怎么用——这些几何特征往往能帮你找到计算的突破口，不是一句空话。

三是平时多总结数学思想的应用场景。压轴题的区分点从来不是超纲知识，而是化归转化、分类讨论、函数方程这些思想你用不用得上。有意识地把同类题的思路归到一起，比刷一百道零散的题管用。