2026长沙一中9月月考一道导数题的详细解答
已知函数.
（Ⅰ）若，恒成立，求实数的取值集合；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数，的两个零点分别为与，且，求证：；
（Ⅲ）已知正整数满足，试求出所有满足条件的.（已知）
解：（Ⅰ）令，则.
①当时，，在区间上单调递减，
当时，，不合条件；
②当时，令，，
↘
极小值
↗
此时，存在最小值，，所以
，即，.
令，，则.
极大值
此时，所以，实数的取值集合；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，...
则.
令，得，，即，.
要证，，
得：.
由，则，代入上述不等式，得：.
即..显然在上单调递增，
所以，即；
（Ⅲ）因为，，则，
故.
.
，
恒成立，求实数
，
，试求出所有满足条件的
，则
.
，不合条件；
，所以
，即
，
，则
所以，实数
.
.
，
，
.
.
在
，即
；
，
，则
，
