【导读】
雨花区八年级下册期末压轴题，新定义——“换位方程”。
这一类题，只要按照我前面说的正确姿势：抄一抄，画一画，变变形，用好第一问，你一定能学会！
今天，我用这道题，向大家展示：
- 画图： 解题过程中习惯性画图，解题完成后画图复盘；
- （本题满分 10 分）定义：方程 （）与方程互为“换位方程”。如一元二次方程的“换位方程”是。已知关于的一元二次方程①：，其中。
(1) 写出方程①的“换位方程”；
(2) 求证：当 时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3) 若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根 ，求这个公共根及 的值。
【实战演示】
第一步：读定义 ，对例子（双重确认）
拿到题，先把定义和例子在草稿纸上对齐抄写。这一步是为了找规律，确保理解无误。
原方程：
换位后：
隐藏条件：
💡 在草稿纸上，用箭头标示系数交换路径，这也是一种可视化操作。
原例：
换位：
💡 题目给的例子（Example） 就是“解题说明书”。把例子抄下来，能帮你验证刚才对定义的理解是否正确。
通过对比例子，定义非常直观——首尾系数互换（ 变 ， 变 ），中间系数不变（ 还是 ）。
第二步：草稿图示—— 照猫画虎：
其中 这个条件一定要抄下来!
⚠️ 看到二次项系数是 ，要立马反应： 系数不能为零！题目条件 ，完美！
卷面上写下来：“ ， 二次项系数 ，换位后的方程是一元二次方程。”
有的同学是“双盲”：既没想到系数不能为 0，也没看到题目给的条件，稀里糊涂就算下去了。严格阅卷的话，没有这句交代，是要扣分的！
第 1 问 答案：
关于 的一元二次方程① 的换位方程为 ： （ ）
第三步：解第 (2) 问 —— 判别式
题目问“总有两个不相等的实数根”，就是要证明方程的判别式 。
对于原方程①：
因为 ，所以 ，恒成立。
对于换位方程：
你会发现算式完全一样！
结论：只要 （保证二次项系数不为 0），两个方程都有两个不相等的实数根。
【拒绝无效重复，培养优化意识】
上面第二问的常规解法是可以的。但是，我想借这道题发挥一下，引导大家刻意培养“优化”和“看透本质”的意识。
你可以探究一下：在这个定义之下，原方程与换位后的方程，它们的判别式是不是完全相同的？
当你发现了“两个方程的判别式是一样的”这个规律，你就可以用一个简短的推导，得出结论，然后直接在卷面上这样写：
两个方程的判别式相同，
第四步：解第 (3) 问 —— 画图找交点（数形结合）
这一问求公共根。虽然可以纯代数算（两式相减），但要训练“画图意识”。
一元二次方程的根，对应二次函数图像与 轴的交点。
在草稿纸上画两个简单的抛物线草图。
“有且仅有一个公共根” 意味着这两条抛物线在 轴上有一个唯一的共同交点 。 有草图，思路就清晰了：既然 是公共根，它肯定同时满足这两个方程……
①
②
💡 两个式子，中间项 是一样的，不要展开了，直接消去！
操作：①式 - ②式，消去中间项，合并同类项：
提取公因式 得：
💡 因为乘积为 0，所以两个因式可以各自为 0 。后面这个因式又是一个平方，所以它又有两个根。因此，需要分情况来讨论。
当 时，我们把它代入两个方程：
原方程①：
换位方程：
此时两个方程完全一样（重合），会有两个公共根，不符合“有且仅有一个”的条件，舍去。
情况 B： 或 。
💡 需要进一步检验这两个公共根是否都符合要求。
💡检验：当 时，原方程 根为 ；换位方程 根为 。公共根确实是 -1，符合题意。
💡检验：当 时，原方程 根为 ；换位方程 根为 。公共根是 1，符合题意。
第 3 问 最终答案：
💡 【小贴士】
强烈建议大家做完题后，把这两个 的值代回原方程，在草稿纸上画一画这两条抛物线的草图。看看它们是如何相交的，体会一下“有且仅有一个公共根”的几何意义。 通过这样的“画图”复盘，你对函数的理解会越来越深入！
