巧妙求解2026年长沙雅礼中考一模数学几何大题T25

2026年长沙雅礼中考一模数学几何大题T25，我想到了一种巧妙的方法，下面给大家讲讲我的方法（文末有录屏讲解），如果你有不同的方法请告诉我。

(1)解题思路：

切线垂直于过切点的半径，连接AO，如能证明BA⊥OA，则BA为⊙O的切线

∵CD是直径

∴∠CAD＝90°

∵AO＝DO

∴∠OAD＝∠ADO

∵∠BAC＝∠ADB＝∠ADO

∴∠BAC＝∠OAD

∴∠BAC＋∠CAO＝∠OAD＋∠CAO＝∠CAD＝90°

∴BA⊥OA，BA为⊙O的切线

(2)解题思路

利用△PEO∽△APF，将PE:AP转换为PO:AF

连接OP，过A作AF//OP，过P作PF⊥AF，交AF于F

易证△PEO∽△APF，∴PE:AP＝PO:AF

∵∠CAP＝∠PAD（已知），∠CAP＝∠CDP，∠PAD＝∠PCD（同弧PD所对角）

∴∠PCD＝∠CDP，△CPD是等腰Rt△

易证∠CAG=∠ADG，∴AG＝2CG，DG＝2AG

∴OP与AF都可以用CG表示，设CG＝x

AG＝2x，DG＝4x，CD＝5x，OP＝CD/2＝5x/2，AF＝2x＋5x/2＝9x/2

∴PE:AP＝PO:AF＝5x/2:9x/2＝5:9

(3)解题思路：

先思考AE×EP等于什么？

易证△CEP∽△AED，CE:AE＝EP:ED，即AE×EP＝CE×ED

已知CE为x，那么ED是多少？

现在我们从已知条件出发，试着将ED用含x式子表示

如何求ED？

易证△ABC∽△DBA，CA:AD＝1:2(已知tan∠ADB＝1/2)

∴BC:AB＝CA:AD＝1:2，∴BC＝AB/2＝√10

同理AB:DB＝CA:AD＝1:2，DB＝2AB＝4√10

∴ED＝BD－BC－CE＝4√10－√10－x＝3√10－x

∴CE×ED＝x(3√10－x)，即AE×EP＝x(3√10－x)

CP×PD、AC×AD是什么？y到底是什么东西？

我们知道1/2×CP×PD是△CPD的面积，1/2×AC×AD是△CAD的面积

我们可以将△CPD和△CAD的面积分别用含AE和PE的式子来代替

过C作AP的垂线，D作AP的垂线，垂足分别为L、M

1/2×AC×AD＝1/2×AE×(h1＋h2)，即AC²AD²＝AE²(h1＋h2)²

同理，CP²PD²＝PE²(h1＋h2)²，代入到y的表达式中

y=AE²(h1＋h2)²PE²/[PE²(h1＋h2)²]

＋b＝AE²＋b＝AE²＋AE×EP

如何求出AE²？

过A作AN⊥CE于N，易知AE²＝AN²＋NE²

∵BD＝4√10，BC＝√10，∴CD＝3√10

∵AC:AD＝1:2，∴AC＝3√2，AD＝6√2

∴AN＝AC×AD÷CD＝3√2×6√2÷3√10＝6√10/5

∴ND＝2AN＝12√10/5，NE＝ND－ED＝12√10/5－(3√10－x)＝x－3√10/5

∴AE²＝AN²＋NE²＝(6√10/5)²＋(x－3√10/5)²

将已求出的AE²、AE×EP代入y

AE²＝(6√10/5)²＋(x－3√10/5)²，AE×EP＝x(3√10－x)

y＝(6√10/5)²＋(x－3√10/5)²＋x(3√10－x)

化简得y＝9√10x/5＋18

由题意知E点在C、D之间，所以x的取值范围是：0＜x＜3√10